選挙あるある言いたいよ～

ぽんぽこ村の村長

「多くの人の投票によって、多数決でだれか一人を選出する」ということを考えましょう。
都知事選をモデルに考えてもいいのですが、なんかリアルだし、住民票が千葉にある僕には関係のないことみたいなので、地球のどこか片隅にひっそり存在している、「ぽんぽこ村」の村長選について考えていきます。
ぽんぽこ村は、たくさんのかわいい動物が暮らしている、統計の話をするのに奇跡的にぴったりな村です。

人口：∞匹
候補者：二人　（トラんぷ、くりん豚）
投票所：一か所

つまり、∞匹の動物たちの票が、一つの箱の中に入っていて、その中身はよーくかきまぜられていると仮定します。
（統計の言葉で言うと、無限母集団、完全なランダムサンプリングを仮定します。）

さて、∞匹の投票が終わり（終わるわけはないですが…）、これから開票が始まります。
トラんぷ、トラんぷ、くりん豚、くりん豚、トラんぷ、…
どれくらいの票を開ければ、どっちが当選するかがわかるでしょうか？

５票開けた時を考えてみます。５票の組み合わせはどんなパターンが考えられるでしょうか？やってみます！！
これを全パターン続けます。（１０文字ぐらいですぐ、虎がゲシュタルト崩壊しました。）
やってみてわかったのですが、パターン数は全部で３２通りです。
そのうち、
トラんぷが５票　（くりん豚が０票）　…１通り
トラんぷが４票　（くりん豚が１票）　…５通り
トラんぷが３票　（くりん豚が２票）　…１０通り
トラんぷが２票　（くりん豚が３票）　…１０通り
トラんぷが１票　（くりん豚が４票）　…５通り
トラんぷが０票　（くりん豚が５票）　…１通り
でした。
ここから何が考えられるでしょうか？？？

トラんぷとくりん豚が引き分けだったら？？？

ここで、重要な仮定を一つ考えてみましょう。
「トラんぷとくりん豚が実は引き分けだった場合」
を考えてみます。

トラんぷとくりん豚が引き分け、つまり、全票の中の二人の票の割合が同じだとします。
すると、５票開けた時点での票の組み合わせは、さっき書き出した全３２パターンがすべて同じ確率（つまり、３２分の１）で現れます。
では、５票開けた時点では一体、何票が、どのくらいの確率でトラんぷに投票されていると考えられるでしょうか？
５票のうち、５票ともトラんぷに投票されているパターン（虎５：豚０）は、１通りでした。つまり、３２分の１の確率でこのパターンが起こるということです。同じようにみていくと、

組み合わせ　確率
虎５：豚０　　1/32
虎４：豚１　　5/32
虎３：豚２　　10/32
虎２：豚３　　10/32
虎１：豚４　　5/32
虎０：豚５　　1/32

となります。
どういうことでしょう？？？

先ほどの仮定「トラんぷとくりん豚が実は引き分けだった場合」が正しいとすると、５票だけ開票したらトラんぷに５票入っていたという状況は、３２分の１（３．１%）の確率でしか起こらないということです。
では、もし実際に５票ともトラんぷだったら、どうなのでしょうか？
「トラんぷとくりん豚が引き分け」という仮定のもとだと、３．１％の確率でしか起こりえないことが起こっていると考えられますね。
そんなことは実際に起こるのでしょうか？
３．１％の確率が起こったと考えるよりは、もともとの仮定であった、「トラんぷとくりん豚が実は引き分けだった」が間違いなんじゃないかと考えた方が現実的ですね。